反证法的魅力

江宁区 南京江宁实验小学 六（11）班 戴临风 指导老师：李慧琴

宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。 ——华罗庚

真好！国庆假期，我和爸爸妈妈去乡下看爷爷奶奶，度过了愉快的田园时光。这天傍晚，奶奶检查家里的几只老母鸡有没有按时进笼，派我这个“特使”前去查点。

“奶奶，你养了几只鸡啊？”

“不多，就养四只老母鸡下蛋给你吃哩。”

“哦，那还不小菜一碟！”

“别急，我告诉你，我家的鸡晚上回笼会待三处，灶台后面、鸡圈，还有前门的墙脊上！”

呵呵，我乐了：“奶奶，你家的鸡像游击队嘛，到处埋伏啊！”说完，我便准备去瞅瞅这些“淘气鸡”们。没等我迈开腿儿，妈妈一把揪住了我，神秘地眨了眨眼睛说：“你知道这四只鸡在三处各有几只吗?”

“四只鸡分三处，那还不小菜一碟？”我立马就在纸上列举出所有各种可能情况：

妈妈又问：“不管是哪种分布情况，你有没有发现什么？”

咦，我搔搔脑袋，懵了。

“哈哈，发现没？无论哪种情况都满足：至少有一个地方至少待了两只鸡!”

“哈哈！这还用说?”我嗤之以鼻，“那不是理所当然的吗？”

“那你如何证明至少有一个地方至少待了两只鸡？”

“这还不简单，像我那样列举一下不就明明白白了吗？”

“如果增加鸡的只数，譬如证明10只鸡待在三处，至少有一处待4只鸡，或者鸡的只数和地点数都增加，譬如证明13只鸡呆在4个地方，至少有一个地方至少待4只鸡，计算量将非常大，而且可能因考虑不周（或遗漏或重复）而算错。”

“这样啊，那该怎么办呢”我一筹莫展了。

“乖孙子!鸡都回来了吗？”

“奶奶在催我哩，我先看看再回来！”我最害怕奶奶唠叨了，赶紧一溜烟跑去查鸡去，果然，有三只鸡飞到墙头上正“睥睨天下”哩！这些家伙可真够淘的！

进了屋，妈妈已经打开电脑，招呼我过来说：“来，咱们来看看数学家是怎样反其道而行之的!”

哦，这个问题竟然让数学家也关注了！我不禁大感兴趣，连忙凑过去阅读：假设每一个地方最多待1只鸡，于是甲、乙、丙三个地方的总数有3只，这与已知条件共有4只鸡显然矛盾。所以，每个地方最多待1只鸡的假设是错误的。因此，至少有一个地方至少待2只鸡。

显然，这个证明方法比上面的列举法简便得多，而且当鸡的数目和地点数目增加时，用这种证明方法也一样简便。

“哇！真简单！”我不禁发出感叹。

“数学家称这种方法叫反证法。你再往下读。”

我的目光又投向电脑：两千多年前，数学家欧几里得用反证法证明了“质数的个数是数不清的”：假设质数的个数能数得清，那么就一定可以找到一个最大的质数P。我们把所有的质数相乘，再加1，便得到一个新的自然数Q，Q＝2×3×5×7×…×P＋1。显然，Q≠1，于是Q或者是质数，或者是合数。因为P是所有质数中最大的一个，而Q大于P,所以Q不是质数。另一方面，Q不能被从2到P的所有质数整除，所以Q也不是合数。这样一来，Q既不是质数，也不是合数，Q又不等于1，与Q是自然数矛盾。可见，“假设质数的个数能数得清”是错误的，也就是说，质数的个数是数不清的。虽然后来许多数学家用其他方法证明过这个问题，但是欧几里得的证明方法至今仍被认为是最简单、最漂亮的证法。”

“哇！反证法太牛了！欧几里得万岁！”我简直太佩服他了！

“现在还有什么收获？”

我歪着脑袋想了想，认真地说：“我发现数学家们都能在生活中发现问题，并能采取欲擒故纵、反其道而行之的方法，出其不意地达到目的。”

是啊!解题的方法简捷又出人意料，数学思维又是那么合乎严谨的科学法则，这大概就是生活中的数学之美吧！